Álgebra I‎ > ‎

Programa

1. Lógica Proposicional. Principio de Inducción

Proposiciones. Operaciones con proposiciones. Cuantificadores. Ejemplos de deducciones en matemática. Números naturales. Principio del buen orden. Axiomas de Peano. Principio de Inducción. Sucesiones definidas por recurrencia. Los símbolos de sumatoria y productoria.

2. Principios fundamentales de conteo

Conjuntos finitos. Las reglas de la suma y el producto. Principio del Palomar. Principio de Inclusión y Exclusión. Funciones entre conjuntos finitos. Permutaciones. Combinaciones sin y con repetición. Números combinatorios. Fórmula binomial y polinomial.

3. Números Racionales, Reales y Complejos

Definición de cuerpo. El cuerpo de los números racionales. El cuerpo de los números reales y sus postulados. Construcción del cuerpo de los números complejos. Módulo y argumento de u número complejo. Raices n-ésimas. Fórmula de De Moivre.

4.Polinomios

El anillo de polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo. Divisibilidad. Algoritmo de la división. Funciones polinómicas. Raíces de polinomios. Teorema del Resto. Regla de Ruffini. Criterio de Gauss. Polinomios irreducibles. Teorema Fundamental del Álgebra.

5. Elementos de Geometría lineal del n-espacio

Vectores en el espacio n-dimenisonal real. Ecuaciones escalares y vectoriales de rectas e hiperplanos. Longitud y ángulo. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Desigualdad triangular. producto vectorial en el 3-espacio. Propiedades del producto vectorial. Clasificación afín de cónicas y cuádricas.

6. Álgebra de matrices

Sistemas lineales. Resolución de sistemas lineales. Método de Gauss. descripción del conjunto de soluciones, General = Particular + Homogénea. Matrices caudradas. Definición y cálculo de determinantes. Inversa de una matríz cuadrada. Regla de cramer. Polinomio característico de una matríz. Autovalores y autovectores. Descomposición LU. Fórmula escalón reducida de una matríz rectangular. Reducción de Gauss-Jordan.